Matemáticas. Series de tempo
Definicións e conceptos teóricos
Índice
Introdución ás series de tempo
Unha serie de tempo é unha sucesión de observacións dun fenómeno ordenadas no tempo.
Exemplo: o número de inmigrantes que chegaron a Galicia procedentes do estranxeiro nos últimos quince anos.
En realidade, unha serie de tempo é un caso particular dunha variable bidimensional, na que a variable independente é o tempo (t) e a dependente a variable que estamos estudando (X). As observacións da serie temporal representarémolas por x1, x2, ..., xn
A forma máis habitual de presentar unha serie de tempo é nunha táboa con dúas columnas. Na primeira columna ponse o tempo (t) e na segunda a observación da variable nese instante de tempo (xt).
A repersentación gráfica das series temporais faise do mesmo xeito que na regresión, no eixe de abscisas representase o tempo (t) e no de ordenadas os valores da variable (xt). Unindo os puntos resultantes obtemos unha visión de como evolucionou a variable que estamos estudando ao largo do tempo.
A análise de series temporais ten dous obxectivos fundamentais. Por unha banda, permítenos analizar a evolución dun fenómeno no tempo, e por outra, podemos facer prediccións dos valores futuros da variable. Así, por exemplo, se se pretende predicir o número de inmigrantes procedentes do estranxeiro que chegarán a Galicia nos próximos anos, unha posibilidade é recompilar o número de inmigrantes que chegaron nos últimos anos a Galicia e construír un modelo descritivo que permita extrapolar o comportamento pasado desta variable cara o futuro.
O estudo das series temporais pode abordarse desde dúas perspectivas distintas:
- A determinística: supón que se poden analizar as series temporais sen ter en conta ningunha compoñente aleatoria. Como veremos a continuación, este análisis supón de os valores que toma a variable ob xecto de estudo ven dado pola combinación de catro compoñentes: tendencia, variacións cíclicas, variacións estacionais e variacións residuais.
- A aleatoria: supón que a serie temporal é unha observación dun proceso estocástico. Un proceso estocástico é unha colección de variables aleatorias. Entón, a concepción aleatoria dunha serie temporal consiste en considerala como a observación dunha sucesión de variables aleatorias.
Compoñentes dunha serie de tempo
A teoría clásica das series de tempo basease en que toda serie xt está formada polas seguintes compoñentes:- Tendencia (ut): é o movemento da serie a longo prazo. Trata de describir o comportamento ou evolución xeral da serie en función do tempo.
- Variacións cíclicas (ct): son oscilacións que se producen con un período superior ao ano. Normalmente son debidas á alternancia de etapas de prosperidade e depresión económica. Na práctica esta compoñente é moi difícil de determinar xa que resulta moi difícil diferenciar entre a tendencia e o ciclo dunha serie. Por este motivo, en moitos casos estas dúas compoñentes trátanse de maneira conxunta e fálase de compoñente extraestacional.
- Variacións estacionais (st): son oscilacións que se producen cun período de tempo igual ou inferior ao ano (estacionalidade anual, trimestral, mensual,...). Estas variacións teñen que ser recoñecibles ao longo dos anos. Un exemplo de variacións estacionais son as debidas a causas climatolóxicas.
- Variacións residuais (rt): tamén se coñecen por residuos, variacións irregulares ou erros. Son movementos que non mostran un carácter periódico recoñecible e que recollen unha morea de causas de variación de pouca importancia individual. Poden considerarse como variables independentes coa mesma distribución. Nunha serie de tempo esta compoñente é practicamente impredicible.
Maneiras de combinar as compoñentes dunha serie de tempo
Dentro dos modelos existentes á hora de combinar as catro compoñentes dunha serie temporal, os máis destacables son:
- Modelo aditivo: xt=ut+ct+st+rt
- Modelo multiplicativo: xt=ut·ct·st·rt
O modelo multiplicativo pódese transformar nun modelo adtitivo sen máis que tomar logaritmos log(xt) = log(ut·ct·st·rt) = log(ut)+log(ct)+log(st)+ log (rt) - Modelo multiplicativo mixto: xt=ut·ct·st+rt
Exemplo : no seguinte gráfico móstrase o número de pasaxeiros que utilizaron os aeroportos galegos nos meses dos últimos vinte anos.
Esta serie presenta unha tendencia lixeiramente crecente en todo o período 1999-2019, cuns valores máis altos para os meses de xullo e agosto e uns mínimos para os meses de xaneiro e febreiro.
Análise da tendencia
O obxectivo da análise de series temporais é separar os seus movementos sistemáticos dos residuos. Neste apartado estudarase como illar a tendencia que, como xa se dixo, é a compoñente que marca as pautas evolutivas da variable. Hai que ter en conta que cando se describiron as compoñentes dunha serie definiuse a tendencia como o movemento da serie a longo prazo, pero o concepto de "longo prazo" depende da lonxitude da serie. De feito, pode ocorrer que as observacións das que se dispoña formen parte dun ciclo dunha serie máis longa.
Entre os métodos máis empregados para a determinación da tendencia atópanse: o método de axuste analítico e o método das medias móbiles.
Análise da tendencia. Método do axuste analítico
Este método trata de axustar unha función que relacione a variable estudada (neste caso a tendencia) en función do tempo (ut=f(t)). Esta función debe recoller a evolución xeral da serie.
Entre os modelos máis utilizados atópanse o axuste linear (f(t)=a0+b0·t) e o axuste parabólico (f(t)=a0+b0·t+c0·t2), onde os parámetros determinaranse polo método dos mínimos cadrados.
Determinación dos parámetros para o axuste linear da tendencia
Para axustar a tendencia (ut) a unha recta (a+b·t) polo método dos mínimos cadrados, hai que calcular os parámetros a0 e b0 de tal xeito que a suma dos cadrados das diferenzas entre os valores observados (ut) e os valores estimados (a0+b0·t) sexa mínima. É dicir, hai que atopar uns valores para a e b que minimicen f(a,b) = St (ut - (a+b·t))2. Para isto, calcúlanse as derivadas parciais de f(a,b) con respecto a a e a b e iguálanse a cero. Deste xeito obtéñense os seguintes coeficientes:
Se queres ver todos os pasos de como obter os coeficientes do axuste lineal podes pinchar na seguinte ligazón
Exemplo : neste exemplo calcularase o axuste lineal da tendencia da serie do número de inmigrantes que recibiu Galicia procedentes do estranxeiro no período 2007-2019.
INE. Estatística de variacións residenciais. Elaboración IGE a partir dos ficheiros proporcionados polo INE
Os cálculos para obter os coeficientes do axuste lineal veñen dados na seguinte táboa:
| Ano | t | t2 | Inmigrantes (ut) | t*ut |
| 2007 | 1 | 1 | 26.386 | 26.386 |
| 2008 | 2 | 4 | 22.165 | 44.330 |
| 2009 | 3 | 9 | 15.135 | 45.405 |
| 2010 | 4 | 16 | 13.878 | 55.512 |
| 2011 | 5 | 25 | 13.847 | 69.235 |
| 2012 | 6 | 36 | 10.322 | 61.932 |
| 2013 | 7 | 49 | 9.268 | 64.876 |
| 2014 | 8 | 64 | 10.377 | 83.016 |
| 2015 | 9 | 81 | 12.094 | 108.846 |
| 2016 | 10 | 100 | 15.736 | 157.360 |
| 2017 | 11 | 121 | 19.078 | 209.858 |
| 2018 | 12 | 144 | 24.183 | 290.196 |
| 2019 | 13 | 169 | 26.932 | 350.116 |
| n=13 (anos) | St=91 | St2=819 | Sut=219.401 | St*ut=1.567.068 |
Polo tanto:
O axuste linear da tendencia ven dado por: f(t) = 15.674,7 + 171,8t
Determinación dos parámetros para o axuste parabólico da tendencia
A fórmula do axuste lineal da tendencia polo método dos mínimos cadrados pode xeneralizarse para os modelos polinómicos de calquera grado. En particular para os polinomios de segundo grado os coeficientes veñen dados por:
Se queres ver todos os pasos de como obter os coeficientes do axuste parabólico podes pinchar na seguinte ligazón
Exemplo : No exemplo do número de inmigrantes que chegaron a Galicia procedentes do estranxeiro o axuste parabólico da serie calcúlase do seguinte xeito:
| Ano | t | t2 | t3 | t4 | Inmigrantes (ut) | t*ut | t2*ut |
| 2007 | 1 | 1 | 1 | 1 | 26.386 | 26.386 | 26.386 |
| 2008 | 2 | 4 | 8 | 16 | 22.165 | 44.330 | 88.660 |
| 2009 | 3 | 9 | 27 | 81 | 15.135 | 45.405 | 136.215 |
| 2010 | 4 | 16 | 64 | 256 | 13.878 | 55.512 | 222.048 |
| 2011 | 5 | 25 | 125 | 625 | 13.847 | 69.235 | 346.175 |
| 2012 | 6 | 36 | 216 | 1.296 | 10.322 | 61.932 | 371.592 |
| 2013 | 7 | 49 | 343 | 2.401 | 9.268 | 64.876 | 454.132 |
| 2014 | 8 | 64 | 512 | 4.096 | 10.377 | 83.016 | 664.128 |
| 2015 | 9 | 81 | 729 | 6.561 | 12.094 | 108.846 | 979.614 |
| 2016 | 10 | 100 | 1.000 | 10.000 | 15.736 | 157.360 | 1.573.600 |
| 2017 | 11 | 121 | 1.331 | 14.641 | 19.078 | 209.858 | 2.308.438 |
| 2018 | 12 | 144 | 1.728 | 20.736 | 24.183 | 290.196 | 3.482.352 |
| 2019 | 13 | 169 | 2.197 | 28.561 | 26.932 | 350.116 | 4.551.508 |
| n=13 (anos) | St=91 | St2=819 | St3=8.281 | St4=89.271 | Sut=219.401 | St*ut=1.567.068 | St2*ut=15.204.848 |
Entón o axuste parabólico da tendencia da serie é: f(t) = 32.194,4 - 6436,1t + 472 t2
Nas seguintes gráficas pódese observar como ao aumentar o grado do polinomio o axuste parece aproximarse mellor aos datos da serie.
Análise da tendencia. Método das medias móbiles
O método das medias móbiles consiste en promediar cada valor da serie temporal cos valores contiguos mediante unha media aritmética. O número de datos a promediar determínase en función do período (p) de oscilacións máis importante que mostra a serie. A serie dos datos así obtida proporciona a tendencia da serie e ten unha distribución con menor dispersión ca serie orixinal.
¿Cómo se calculan as médias móbiles de orden p?- Se p é impar. Para cada instante temporal t promédianse os p valores que se sitúan o redor de ut, é dicir, promédianse os datos:
.
- Se p é par. Neste caso, o primeiro paso é calcular as medias móbiles de orden p-1 e p+1 e logo calcular a súa correspondente media aritmética.
Exemplo: cálculo das medias móbiles de orden 4 para a produción de vehículos automóbiles na comunidade galega.
| 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | |
| I Trimestre | 116.061 | 102.259 | 85.750 | 105.949 | 110.238 | 110.069 | 116.617 | 112.393 | 109.397 | 101.371 |
| II Trimestre | 95.813 | 103.022 | 63.030 | 119.118 | 99.463 | 118.856 | 124.374 | 123.955 | 127.267 | 99.443 |
| III Trimestre | 89.690 | 65.231 | 72.637 | 94.455 | 85.053 | 89.765 | 94.885 | 97.829 | 71.178 | 87.952 |
| IV Trimestre | 95.648 | 85.283 | 75.971 | 87.642 | 84.360 | 88.403 | 88.097 | 102.853 | 90.235 | 117.912 |
Esta serie ten estacionalidade trimestral, polo que se considera p=4. Como p é par, primeiro calcúlanse as medias móbiles de orden p-1=3 e p+1=5.
Por exemplo, para o segundo trimestre de 2010 a media móbil de orden 3 calcúlase como a media aritmética do primeiro, segundo e terceiro trimestre de 2010, é dicir como (116.061 + 95.813 + 89.690)/3 = 100.521. Analogamente para o terceiro trimestre de 2010 a media móbil de orden tres viría dada por (95.813 + 89.690 + 95.648)/3 = 93.717. Operando de maneira similar para todo o período considerado, obtéñense as seguintes medias móbiles de orden 3:
Medias móbiles de orden 3
| 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | |
| I Trimestre | - | 100.310 | 78.021 | 100.346 | 99.114 | 104.428 | 109.798 | 108.148 | 113.172 | 97.016 |
| II Trimestre | 100.521 | 90.171 | 73.806 | 106.507 | 98.251 | 106.230 | 111.959 | 111.392 | 102.614 | 96.255 |
| III Trimestre | 93.717 | 84.512 | 70.546 | 100.405 | 89.625 | 99.008 | 102.452 | 108.212 | 96.227 | 101.769 |
| IV Trimestre | 95.866 | 78.755 | 84.852 | 97.445 | 93.161 | 98.262 | 98.458 | 103.360 | 87.595 | - |
De xeito análogo a como se calcularon as medias móbiles de orden 3 calcúlanse as de orden 5. Por exemplo, para o terceiro trimestre de 2010 esta calcularíase como: (116.061 + 95.813 + 89.690 + 95.648 + 102.259)/5 = 99.894
Medias móbiles de orden 5
| 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | |
| I Trimestre | - | 91.170 | 74.386 | 93.626 | 95.370 | 97.621 | 102.809 | 103.432 | 101.705 | 90.036 |
| II Trimestre | - | 90.289 | 76.534 | 96.627 | 93.351 | 98.291 | 102.475 | 105.025 | 100.186 | 99.383 |
| III Trimestre | 99.894 | 88.309 | 80.667 | 103.480 | 97.837 | 104.742 | 107.273 | 109.285 | 99.890 | - |
| IV Trimestre | 97.286 | 80.463 | 87.341 | 102.183 | 99.560 | 107.603 | 108.741 | 112.260 | 97.899 | - |
Finalmente, para calcular as medias móbiles de orden 4 promédianse, para cada trimestre, as correspondentes medias móbiles de orden 3 e de orden 5. Por exemplo, para o terceiro trimestre de 2010 a media móbil de orden 4 é: (93.717 + 99.894)/2 = 96.806.
Medias móbiles de orden 4
| 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | |
| I Trimestre | - | 95.740 | 76.204 | 96.986 | 97.242 | 101.024 | 106.303 | 105.790 | 107.439 | 93.526 |
| II Trimestre | - | 90.230 | 75.170 | 101.567 | 95.801 | 102.260 | 107.217 | 108.209 | 101.400 | 97.819 |
| III Trimestre | 96.806 | 86.411 | 75.607 | 101.943 | 93.731 | 101.875 | 104.863 | 107.749 | 98.058 | - |
| IV Trimestre | 96.576 | 79.609 | 86.097 | 99.814 | 96.360 | 102.932 | 103.600 | 107.810 | 92.747 | - |
Na representación gráfica da serie resultante pódese observar como a serie das medias móbiles é máis suave que a serie orixinal.
Análise da compoñente estacional
As variacións estacionais son oscilacións que normalmente se producen cun período igual ou inferior ao ano e que son recoñecibles nos diferentes anos. Para estudar o movemento real ou tendencia dunha serie, é necesario eliminar previamente as flutuacións, ou variacións estacionais, presentes na serie e que encobren a evolución real do fenómeno.
Por simplicidade suporemos que a serie de datos é mensual. Denotarase por xij o dato da serie correspondente ao mes j (j=1,2,..., 12) do ano i (i=1,2, ..., n)
Análise da compoñente estacional. Método das relacións de medias mensuais respecto á tendencia
Os pasos a seguir son os seguintes:
- Calcular as medias anuais dos datos observados:
Axustar as medias anuais dos datos (xi· ) a unha recta a+bi polo método dos mínimos cadrados. A pendente desta recta (b) representa o incremento dos valores medios anuais no transcurso dun ano. Polo tanto, supoñendo que o incremento anual se produce uniformemente ao longo de cada ano, b/12 é o incremento debido ao transcurso dun mes.
- Calcular as medias mensuais dos datos:
- Corrixir as medias mensuais restando a cada unha delas a proporción do incremento anual:
Como en xaneiro aínda non transcorreu ningún mes, a media mensual corrixida coincide coa media mensual. Porén, en Febreiro hai que descontarlle á media mensual a parte do efecto total do transcurso dun ano correspondente ao mes de xaneiro. É dicir, hai que restarlle á media orixinal a doceava parte do incremento anual (b/12). En marzo habería que restarlle dúas doceavas partes do incremento anual (2b/12) e así sucesivamente.
Calcular a media global corrixida (x'·· ) como a media aritmética das medias mensuais corrixidas.
- Obter a compoñente estacional. Neste caso hai que distinguir entre se o modelo aditivo ou multiplicativo
- Modelo aditivo: neste caso a compoñente estacional calcúlase como sij = x'·j - x'··
- Modelo multiplicativo: o índice de variación estacional obtense como o cociente entre a media mensual corrixida e a media global corrixida, é dicir:
Exemplo: na seguinte táboa móstranse os matrimonios que tiñan pensado fixar a súa residencia en Galicia nos últimos 8 anos con datos definitivos.
| 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | |
| Xaneiro | 288 | 241 | 279 | 294 | 289 | 334 | 286 | 314 |
| Febreiro | 314 | 306 | 317 | 375 | 331 | 349 | 327 | 313 |
| Marzo | 436 | 525 | 448 | 406 | 375 | 430 | 464 | 337 |
| Abril | 590 | 563 | 473 | 467 | 490 | 621 | 625 | 371 |
| Maio | 843 | 832 | 840 | 870 | 958 | 745 | 777 | 647 |
| Xuño | 952 | 1.209 | 1.008 | 937 | 1.040 | 1.044 | 1.042 | 1.040 |
| Xullo | 1.557 | 1.211 | 1.111 | 1.133 | 1.268 | 1.463 | 1.316 | 1.069 |
| Agosto | 1.372 | 1.371 | 1.404 | 1.552 | 1.475 | 1.273 | 1.198 | 1.230 |
| Setembro | 1.335 | 1.471 | 1.237 | 1.222 | 1.302 | 1.343 | 1.463 | 1.307 |
| Outubro | 755 | 808 | 676 | 705 | 840 | 845 | 823 | 898 |
| Novembro | 406 | 472 | 374 | 411 | 417 | 434 | 455 | 581 |
| Decembro | 408 | 496 | 406 | 433 | 457 | 498 | 511 | 530 |
| Medias anuais | 771 | 792 | 714 | 734 | 770 | 782 | 774 | 720 |
A continuación obterase a compoñente estacional polo método das relacións medias mensuais con respecto á tendencia.
Unha vez calculadas as medias anuais dos datos, o seguinte paso é axustalas a unha recta polo método dos mínimos cadrados.
| i | i2 | Medias anuais (xi·) |
i*xi· | |
| 2011 | 1 | 1 | 771 | 771 |
| 2012 | 2 | 4 | 792 | 1.584 |
| 2013 | 3 | 9 | 714 | 2.143 |
| 2014 | 4 | 16 | 734 | 2.935 |
| 2015 | 5 | 25 | 770 | 3.851 |
| 2016 | 6 | 36 | 782 | 4.690 |
| 2017 | 7 | 49 | 774 | 5.417 |
| 2018 | 8 | 64 | 720 | 5.758 |
| n=8 (anos) | Si=36 | Si2=204 | Sxi·=6.057 | Sixi·=27.150 |
Entón a recta de axuste é: 769 -3i
A continuación calcúlanse as medias mensuais dos datos e as correspondentes medias mensuais corrixidas:
| Mes | j | media mensual (x·j ) |
media mensual corrixida (x'·j ) |
Compoñente estacional (modelo aditivo) |
| Xaneiro | 1 | 291 | 291 | -468 |
| Febreiro | 2 | 329 | 329 | -429 |
| Marzo | 3 | 428 | 428 | -330 |
| Abril | 4 | 525 | 526 | -233 |
| Maio | 5 | 814 | 815 | 57 |
| Xuño | 6 | 1.034 | 1.035 | 277 |
| Xullo | 7 | 1.266 | 1.267 | 509 |
| Agosto | 8 | 1.359 | 1.361 | 603 |
| Setembro | 9 | 1.335 | 1.337 | 578 |
| Outubro | 10 | 794 | 796 | 37 |
| Novembro | 11 | 444 | 446 | -312 |
| Decembro | 12 | 467 | 470 | -289 |
| x'··= 758 |
Por exemplo, a media mensual para novembro calcúlase como: x·2 = 1/8(406 + 472 + 374 + 411 + 417 + 434 + 455 +581) = 444 e a media mensual corrixida como x'·2 = x·2 - (10/12)*b = 328 - (10/12)*(-3) = 446
Unha vez calculadas as medias mensuais corrixidas, a media global corrixida obtense como promedio das anteriores, é dicir: x'·· = 1/12 (291 + 329 + 428 + 526 + 815 + 1.035 + 1.267 + 1.361 + 1.337 + 796 + 446 + 470) = 758
Finalmente para cada mes, e supoñendo que o modelo é aditivo, calcúlase a compoñente estacional como a diferenza entre a correspondente media mensual corrixida e a media global corrixida. Por exemplo, para o mes de novembro a compoñente estacional ven dada por: si2= x·2 - x'·· = 446 - 758 = -312
A compoñente estacional que se mostra na gráfica anterior ten un marcado balance positivo nos meses de verán, sobre todo en agosto. Porén, os meses de inverno presentan unha compoñente estacional negativa moi forte, é dicir, son os meses nos que se celebra un menor número de matrimonios.
Análise da compoñente estacional. Método das medias móbiles
O método das medias móbiles para a análise da compoñente estacional consiste en:
- Obter a compoñente extraestacional da serie (Eij) facendo un axuste da serie orixinal empregando medias móbiles con p=12, sempre e cando a serie dos datos sexa mensual. ¿Cómo calcular as medias móbiles de orden p?
- Calcular a compoñente estacional estimada s·j:
- Se o modelo é aditivo: s·j = x·j - E·j
- Se o modelo é multiplicativo:
Exemplo: neste exemplo calcularase a compoñente estacional da serie de matrimonios mediante o método das medias móbiles.
Como p=12 é un número par, primeiro hai que calcular as medias móbiles de orden p-1=11 e p+1=13.
Medias móbiles de orden 11
| 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | |
| Xaneiro | - | 723 | 726 | 677 | 710 | 729 | 719 | 679 |
| Febreiro | - | 708 | 702 | 652 | 684 | 727 | 723 | 668 |
| Marzo | - | 712 | 696 | 681 | 707 | 725 | 710 | 646 |
| Abril | - | 777 | 735 | 731 | 761 | 771 | 766 | 690 |
| Maio | - | 813 | 754 | 761 | 800 | 809 | 802 | 731 |
| Xuño | 804 | 819 | 742 | 761 | 799 | 807 | 798 | 737 |
| Xullo | 815 | 842 | 754 | 774 | 814 | 822 | 818 | 757 |
| Agosto | 809 | 840 | 752 | 766 | 814 | 822 | 817 | - |
| Setembro | 797 | 821 | 745 | 759 | 812 | 807 | 803 | - |
| Outubro | 791 | 810 | 739 | 751 | 806 | 793 | 777 | - |
| Novembro | 765 | 778 | 705 | 716 | 776 | 782 | 740 | - |
| Decembro | 755 | 744 | 693 | 718 | 749 | 758 | 704 | - |
Medias móbiles de orden 13
| 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | |
| Xaneiro | - | 825 | 793 | 745 | 785 | 827 | 823 | 758 |
| Febreiro | - | 810 | 808 | 779 | 811 | 827 | 802 | 752 |
| Marzo | - | 818 | 797 | 765 | 792 | 817 | 817 | 760 |
| Abril | - | 777 | 736 | 724 | 763 | 782 | 777 | 717 |
| Maio | - | 756 | 703 | 704 | 741 | 750 | 747 | 698 |
| Xuño | - | 763 | 698 | 709 | 744 | 757 | 753 | 704 |
| Xullo | 731 | 753 | 682 | 700 | 737 | 743 | 739 | - |
| Agosto | 732 | 758 | 689 | 702 | 741 | 743 | 741 | - |
| Setembro | 748 | 769 | 696 | 702 | 749 | 752 | 741 | - |
| Outubro | 758 | 765 | 698 | 709 | 768 | 767 | 734 | - |
| Novembro | 777 | 787 | 728 | 747 | 787 | 779 | 736 | - |
| Decembro | 805 | 800 | 736 | 760 | 794 | 802 | 756 | - |
Medias móbiles de orden 12
| 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | |
| Xaneiro | - | 774 | 759 | 711 | 747 | 778 | 771 | 719 |
| Febreiro | - | 759 | 755 | 716 | 748 | 777 | 763 | 710 |
| Marzo | - | 765 | 747 | 723 | 750 | 771 | 763 | 703 |
| Abril | - | 777 | 736 | 727 | 762 | 776 | 772 | 703 |
| Maio | - | 784 | 728 | 732 | 770 | 780 | 774 | 714 |
| Xuño | - | 791 | 720 | 735 | 771 | 782 | 775 | 720 |
| Xullo | 773 | 797 | 718 | 737 | 775 | 783 | 778 | - |
| Agosto | 770 | 799 | 721 | 734 | 778 | 780 | 779 | - |
| Setembro | 972 | 795 | 721 | 731 | 780 | 779 | 772 | - |
| Outubro | 774 | 788 | 718 | 730 | 787 | 780 | 756 | - |
| Novembro | 771 | 782 | 717 | 731 | 782 | 780 | 738 | - |
| Decembro | 780 | 772 | 714 | 739 | 771 | 780 | 730 | - |
Unha vez calculadas as medias móbiles de orden p=12 e supoñendo que o modelo é aditivo, calcúlanse a estimación da compoñente estacional como: s·j = x·j - E·j
Por exemplo, para o mes de xaneiro x·1 = 1/8(288 + 241 + 279 + 294 + 289 + 334 + 286 + 314) = 291 e E·1 = 1/7(774 + 759 + 711 + 747 + 778 + 771 + 719) = 751, polo que s·1 = 291 - 751 = -461
| Media mensual x·j |
E·j | s·j | |
| Xaneiro | 291 | 751 | -461 |
| Febreiro | 329 | 747 | -418 |
| Marzo | 428 | 746 | -318 |
| Abril | 525 | 750 | -225 |
| Maio | 814 | 755 | 59 |
| Xuño | 1.034 | 756 | 278 |
| Xullo | 1.266 | 766 | 500 |
| Agosto | 1.359 | 766 | 594 |
| Setembro | 1.335 | 764 | 571 |
| Outubro | 794 | 762 | 32 |
| Novembro | 444 | 757 | -314 |
| Decembro | 467 | 755 | -288 |
