Matemáticas. Series de tempo
Actividade 2. A evolución das pernoitas nos establecementos de turismo rural

¿Crees que o turismo rural está cada vez máis de moda?

Existe a crenza de que cada vez máis xente opta por opcións alternativas á hora de escoller o tipo de aloxamento para pasar as súas vacacións. Neste exercicio tratarase de comprobar a veracidade desta afirmación a partir dos datos que facilita o IGE.

Número de pernoitas nos establecementos de turismo rural en Galicia

	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
Xaneiro	3.885	4.883	5.764	7.481	7.865	7.288	7.996	6.073
Febreiro	6.680	6.271	8.406	8.685	8.834	10.602	9.985	8.218
Marzo	15.531	11.115	14.866	24.176	11.589	23.106	13.728	2.092
Abril	8.679	22.191	22.870	15.747	38.374	20.989	34.363	0
Maio	15.887	22.529	25.594	27.568	28.002	30.907	35.974	220
Xuño	19.877	24.700	31.037	37.384	38.842	37.725	40.696	7.619
Xullo	39.014	49.295	57.675	74.451	76.076	60.792	67.151	41.105
Agosto	80.081	89.974	100.466	118.995	119.170	109.451	112.514	78.008
Setembro	28.708	35.072	40.645	50.545	51.345	49.463	46.391	23.043
Outubro	16.129	18.918	27.547	32.990	33.456	33.379	27.544	10.922
Novembro	12.247	10.312	12.666	12.458	14.563	16.856	13.564	2.293
Decembro	12.433	13.025	14.697	17.061	20.924	17.555	17.138	2.531

Na representación gráfica da serie pódese observar unha tendencia lixeiramente crecente no número de pernoitas durante os anos posteriores á crise económica ata o ano 2020, no que debido a crise da pandemia do coronavirus, prodúcese un desplome nas pernoitas. Por outro lado obsérvase unha forte estacionalidade anual. O maior número de pernoitas dáse nos meses de verán, sobre todo en agosto. Ademais, tamén se observan uns pequenos picos nos meses de marzo-abril, posiblemente debidos a que a Semana Santa cadra nalgúns destes meses. Desta representación gráfica tamén se desprende que o menor número de pernoitas se produce nos dous primeiros e nos dous últimos meses do ano.

¿Como evolucionan as pernoitas do turismo rural a longo prazo?

Para illar o movemento da serie a longo prazo (tendencia) dos outros elementos que a compoñen usaranse dou métodos: o método de axuste analítico e o método das medias móbiles.

Método de axuste analítico para a análise da tendencia

Neste método tratarase de axustar unha función que relacione o número de pernoitas anuais en función do tempo. Esta función deberá recoller a marcha ou a evolución xeral da serie.

Neste exemplo axustarase a tendencia da serie de pernoitas a unha recta (f(t)=a₀+b₀t) mediante o método de mínimos cadrados. Para este axuste os parámetros a₀ e b₀ veñen determinados pola seguinte expresión:

Ano	t	t2	Total de pernoitas anuais (ut)	t*ut
2013	1	1	259.151	259.151
2014	2	4	308.285	616.570
2015	3	9	362.233	1.086.699
2016	4	16	427.541	1.710.164
2017	5	25	449.040	2.245.200
2018	6	36	418.113	2.508.678
2019	7	49	427.044	2.989.308
2020	8	64	182.124	1.456.992
n=8 (anos)	St=36	St2=204	Sut=2.833.531	St*ut=12.872.762

Se se substitúen na fórmula os datos do exemplo das pernoitas anuais, obteríanse os seguintes valores para os coeficientes do modelo:

Polo tanto, o axuste linear da tendencia da serie vén dado por f(t)=341.113,6 + 2.901,7t

Neste exemplo parece que o modelo linear non é suficiente para axustar a tendencia da serie, obtéñense melloras significativas utilizando o axuste parabólico. O axuste linear da unha tendencia claramente estable, mentras que o parabólico amosa unha tendencia crecente nos primeiros anos da serie e outra decrecente nos últimos anos do período 2013-2020.

Método das medias móbiles para a análise da tendencia

Tal e como se pode observar na gráfica do número de pernoitas no turismo rural, trátase dunha serie mensual con estacionalidade anual, polo que se debe considerar p=12. Dado que p é par, primeiro hai que calcular as medias móbiles de orde p-1=11 e p+1=13.
Por exemplo, para o mes de xullo de 2013 para calcular a media móbil de orde 11 considéranse os datos dos meses comprendidos entre febreiro de 2013 e decembro de 2013 (ambos os dous incluídos) e calcúlase a media dos seus valores. Logo, tómanse os meses desde xaneiro de 2013 ata xaneiro de 2014 e calcúlase a correspondente media móbil de orde 13. Finalmente, para calcular a media móbil de orde p=12, considéranse as dúas medias anteriores e calcúlase a súa media.
Operando deste xeito, obtéñense as seguintes medias móbiles de orde 12 para a serie mensual do número de pernoitas.

Medias móbiles de orde 12

	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
Xaneiro	-	23.644	27.261	31.688	36.465	36.319	35.923	24.419
Febreiro	-	24.205	27.761	32.864	36.235	34.950	35.990	21.590
Marzo	-	25.259	28.837	34.506	36.752	34.910	36.430	19.586
Abril	-	25.743	29.535	35.257	36.929	34.946	36.179	18.018
Maio	-	25.823	30.078	35.600	37.175	35.163	35.903	16.926
Xuño	-	25.756	30.230	35.667	37.387	35.093	35.732	15.827
Xullo	21.758	25.870	30.423	35.840	37.604	35.063	35.706	-
Agosto	21.768	25.982	30.493	35.855	37.639	35.048	35.706	-
Setembro	21.518	26.190	30.819	35.269	38.144	34.572	34.983	-
Outubro	21.885	26.309	30.912	35.626	37.811	34.675	32.988	-
Novembro	22.704	26.455	30.645	36.589	37.205	35.408	30.039	-
Decembro	23.164	26.823	30.941	36.596	37.218	35.705	27.109	-

¿Como oscila o número de pernoitas durante o ano?

As oscilacións que normalmente se producen cun período igual ou inferior ao ano e que son recoñecibles nos diferentes anos son as variacións estacionais. O motivo principal que leva a estudar a compoñente estacional é que, en moitas das series temporais, a dita compoñente provoca unha distorsión do verdadeiro movemento da serie. Polo tanto, para estudar a evolución dunha variable e captar o seu movemento real, o primeiro que se debe facer é eliminar a compoñente estacional. Neste exemplo utilizarase o método das relacións medias mensuais con respecto á tendencia e o método das medias móbiles.

Método das relacións medias mensuais con respecto á tendencia

1. O primeiro paso é axustar as medias anuais dos datos a unha recta a₀+b₀t polo método de mínimos cadrados. Procedendo de maneira similar a cando se calcula o axuste linear da tendencia tense:
   
   

   Ano	t	t2	Media anual das pernoitas (ut)	t*ut
   2013	1	1	21.596	21.596
   2014	2	4	25.690	51.381
   2015	3	9	30.186	90.558
   2016	4	16	35.628	142.514
   2017	5	25	37.420	187.100
   2018	6	36	34.843	209.057
   2019	7	49	35.587	249.109
   2020	8	64	15.177	121.416
   n=8 (anos)	St=36	St2=204	Sut=236.128	St*ut=1.072.730

   
   Polo tanto, o axuste linear para a media anual das pernoitas vén dado por f(t)=28.428+242t
2. O seguinte paso é calcular as medias mensuais dos datos (x_·j).
3. Corríxense as medias mensuais ao lle restar a cada media mensual a parte proporcional do incremento anual (b₀). As medias mensuais corrixidas denotaranse por: x'_·j.
4. Obtense a media global corrixida como a media aritmética das medias mensuais corrixidas(x'..).
5. O ultimo paso é obter a compoñente estacional. Se supoñemos que o modelo é multiplicativo, o índice de variación estacional (en tanto por un) viría dado polo cociente entre a correspondente media mensual corrixida e a media global corrixida (x'_·j/x'..)

Todos os cálculos anteriores se poden resumir na seguinte táboa:

Mes	Media mensual (x·j)	Media mensual  corrixida (x'·j)	Índice de variación  estacional (x'·j/x'..)
Xaneiro	6.404	6.404	0,218
Febreiro	8.460	8.440	0,287
Marzo	14.525	14.485	0,493
Abril	20.402	20.341	0,692
Maio	23.335	23.255	0,791
Xuño	29.735	29.634	1,008
Xullo	58.195	58.074	1,975
Agosto	101.082	100.941	3,433
Setembro	40.652	40.490	1,377
Outubro	25.111	24.929	0,848
Novembro	11.870	11.668	0,397
Decembro	14.421	14.199	0,483
		x'..=29.405

Na gráfica anterior pódese observar como os meses de verán (sobre todo agosto) teñen unha marcada tendencia alcista, mentres que os meses de xaneiro e febreiro son nos que o número de pernoitas cae de maneira máis drástica.

Método das medias móbiles

Para este método os pasos que se van seguir pódense resumir do seguinte xeito:

1. Calcular a compoñente extraestacional(E_ij) facendo un axuste da serie orixinal (x_ij) mediante o método das medias móbiles con p=12. Este paso xa se realizou anteriormente ao axustar a tendencia mediante o método das medias móbiles.
2. Unha vez calculada a compoñente extraestacional, e se supón que o modelo é multiplicativo, obtense a compoñente estacional (s_·j) para todos os meses (j=1, ..., 12) aplicando a seguinte fórmula:

   

Mes	Compoñente estacional modelo multiplicativo
Xaneiro	0,220
Febreiro	0,290
Marzo	0,445
Abril	0,668
Maio	0,735/td>
Xuño	0,967
Xullo	1,901
Agosto	3,313
Setembro	1,362
Outubro	0,851
Novembro	0,429
Decembro	0,522

Para acceder a todos os cálculos realizados na folla de cálculo Excel picar no seguinte aderezo Ver cálculos

Actividades complementarias

1. No seguinte enlace podes descargar os datos das pernoitas no turismo rural para as catro provincias galegas: Pernoitas por provincias
   Trata entón de responder as seguintes preguntas:
   • ¿A evolución das pernoitas no turismo rural segue o mesmo patrón nas catro provincias galegas?
   • ¿En cal das catro provincias a serie do número de pernoitas ten unha tendencia crecente máis marcada?
   • Ao longo do ano ¿O número de pernoitas oscila de igual xeito en todas as provincias?
2. Se picas aquí podes descargar a serie do número de pernoitas nos establecementos hoteleiros (hoteis+hostais) de Galicia.
   • ¿De que maneira están correlacionadas as pernoitas que se rexistran durante un ano coas que se produciron nos anos anteriores?
   • ¿Ten a serie unha tendencia crecente tan marcada como a das pernoitas no turismo rural?
   • Estuda como varía o número de pernoitas durante os meses do ano.