Índice

• Indicadores demográficos
• ¿Existe algunha relación entre a taxa bruta de mortalidade e o índice de envellecemento?
• ¿Existe algunha forma de resumir numéricamente a información contida no gráfico de dispersión?
• ¿Que medida da relación lineal entre dúas variables non depende das unidades de medida?
• ¿Como axustamos a recta de regresión?
• ¿Como predecir valores da variable coa recta de regresión?

¿Existe algún tipo de relación entre as variables "Taxa de mortalidade" e "Índice de envellecemento"?

O primeiro paso é representar graficamente os datos. Empregaremos o "diagrama de dispersión" ou "nube de puntos", que permite representar nos eixos coordenados os pares de puntos formados polos valores observados de ambas as dúas variables.

Este tipo de representación gráfica permite apreciar a existencia e o tipo de relación existente entre ambas as dúas variables.

¿Que variable escollemos para cada eixo?

No eixo de ordenadas representamos a variable explicada (tamén chamada endóxena ou dependente) e no eixo de abscisas a variable explicativa (esóxena ou independente).

Parece lóxico pensar que a taxa bruta de mortalidade de cada concello depende do índice de envellecemento así que, neste caso a variable explicada é a taxa bruta de mortalidade e a variable explicativa é o índice de envellecemento.
Obtense o seguinte gráfico de dispersión:

+ Como elaborar un gráfico de dispersión coa folla de cálculo OpenOffice Calc (Video demostración)

¿Que conclusión podemos deducir do gráfico de dispersión?

Ao observar o gráfico pódese apreciar que ao aumentar os valores da variable independente (representada no eixo das X), aumenta en promedio o valor da variable dependente (representada no eixo das Y). Cando esto ocorre dicimos que existe unha relación positiva ou directa entre ambas as dúas variables. Efectivamente, o gráfico mostra que os concellos con alto índice de envellecemento tenden a ter tamén unha elevada taxa bruta de mortalidade, confirmando así o que sospeitabamos.

Pero a figura tamén parece amosar algo máis. Se lle botas un pouco de imaxinación poderás ver como os puntos parece que tenden a colocarse seguindo unha recta. Dicimos entón que a relación entre ambas as dúas variables é lineal. Esta relación é de tipo estatístico, é dicir, os puntos distribúense "aleatoriamente" arredor da recta.

Se a relación fose funcional (y= a + bx), non necesitarías botarlle nada de imaxinación, pois os puntos formarían unha recta perfecta.

¿Que medida da relación lineal entre dúas variables non depende das unidades de medida?

Para construír unha medida da relación lineal entre dúas variables, que resuma a información do gráfico de dispersión e que non dependa das unidades de medida, a solución proposta por Galton e Pearson foi tipificar a covarianza dividíndoa polas desviacións típicas de ambas as dúas variables. O resultado chámase coeficiente de correlación lineal de Pearson. Para os datos deste exemplo o seu valor é o seguinte:

O coeficiente de correlación é un número comprendido entre -1 e 1.

• Se o coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a -1 a correlación é forte e inversa, e será tanto máis forte canto máis se aproxime r a -1.
• Se o coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 1 a correlación é forte e directa, e será tanto máis forte canto máis se aproxime r a 1.
• Se o coeficiente de correlación lineal é igual a 0 non existe relación lineal pero podería existir unha relación moi forte entre as dúas variables pero de tipo non lineal.
• Se r = 1 ó -1, os puntos da nube están sobre a recta crecente ou decrecente. Entre ambas as dúas variables hai dependencia funcional.

Neste exemplo o coeficiente de correlación é 0,61, polo tanto estamos nun caso de relación lineal positiva relativamente forte.

+ Como calcular as medias, as varianzas, a covarianza e a correlación entre dúas variables coa folla de cálculo OpenOffice Calc (Video demostración)

"Xogando a ser Nostradamus" ou "¿como utilizar a recta de regresión para predicir?"

Supoñamos que non coñecemos a taxa bruta de mortalidade do concello de Taboada, pero que si temos información sobre o seu índice de envellecemento. ¿Como poderiamos facer para predicir (estimar) o valor da taxa bruta de mortalidade?

A ecuación da recta de regresión relaciona ambas as dúas variables (o índice de envellecemento e a taxa bruta de mortalidade). Coñecemos o valor do índice de envellecemento do concello de Taboada. ¿Podemos entón obter o valor da taxa bruta de mortalidade a partir da recta?

¡Claro que si! Na recta, coñecido o valor de x (índice de envellecemento) o valor da y (taxa bruta de mortalidade) que lle correspondería sería y = 11,60 + 0,016 x. Logo, substituíndo:

y= 11,60+ 0,016 x 589,45 = 21,03

¿Cal é o residuo ou erro de predición cometido ao utilizar a recta de regresión?

erro de predición=valor observado-valor esperado

Neste caso, o erro de predición sería entón: e = 20,60- 21,03 =-0,43.

No gráfico que representa a recta de regresión sobre a nube de puntos hai algúns deles que quedan bastante alonxados da recta. Nestes casos a predición dada pola recta de regresión (que é o valor da y no corte da recta coa perpendicular ao eixo de abscisas dende o punto en cuestión) non sería moi boa.

Podes calcular os erros de predición cometidos nos concellos de Ribeira de Piquín (e = 10,1) e de Ourol (e= - 12,8).

A estimación loxicamente é mellor canto máis próximos á recta se atopen os puntos do diagrama de dispersión.

Se non tivésemos a taxa bruta de mortalidade dalgúns concellos pero si o índice de envellecemento. ¿Como fariamos?. Estimariamos a recta de regresión usando só os concellos con información completa, e utilizariamos esta recta así construída para predicir a variable independente (taxa bruta de mortalidade) naqueles nos que só coñecemos o valor da variable dependente (índice de envellecemento).

Esta recta construída sen empregar todos os concellos, será máis ou menos parecida á nosa dependendo do concello que quite.