Matemáticas. Probabilidade
Definicións e conceptos teóricos

O azar. Experimentos e sucesos aleatorios. Espazo mostral

A palabra azar fai referencia a algo cuxo resultado se descoñece. Por exemplo, ao lanzar un dado cúbico coas caras numeradas do 1 ao 6 non sabemos qué resultado imos obter, cando se decide ter un neno non se sabe se sairá neno ou nena, etc. Non obstante, estes fenómenos, que son tan imprevisibles aisladamente, vólvense tremendamente regulares cando se repiten moitas veces. Así, se analizamos o número de nacementos dos últimos anos, observaremos que aproximadamente no 50% dos casos nacen homes e no 50% dos casos nacen mulleres. Nacementos segundo sexo

Os experimentos que se comportan desta maneira chámanse aleatorios. Ao repetilos baixo as mismas condicións:

• Poden ter varios resultados.
• Non se pode predecir o seu resultado.

A diferenza dos experimentos aleatorios, os experimentos deterministas son aqueles nos que se pode predecir o resultado. Un experimento é determinista se ao realizar un experimento nunhas condicións varias veces obtense sempre o mesmo resultado. Neste caso atópanse as leis da física. Exemplos: se calentamos auga ebullirá a 100ºC, se deixamos caer un obxecto dende unha altura tardará o mesmo tempo en chegar ao chan.

O espazo mostral é o conxunto formado por todos os resultados posibles do experimento. Desígnase por E e os seus elementos chámanse puntos mostrais. No caso do nacemento dun neno o espazo mostral está constituído por E={Home, Muller} e no caso do lanzamento do dado o espazo mostral é E={1, 2, 3, 4, 5, 6}

O suceso aleatorio é calquer conxunto formado por un ou máis elementos do espazo mostral. A={Home} é un suceso aleatorio correspondente a nacer home e no caso do lanzamento do dado A={5} é o suceso aleatorio correspondente a que saia un 5.

Tipos de sucesos aleatorios

Consideremos dous experimentos aleatorios consistentes en:

• Elixir unha persoa >16 anos ao azar no teu concello: esta persoa pode estar ocupada, parada ou inactiva.
• Lanzar un dado cúbico coas caras numeradas do 1 ao 6.

Sucesos elementais son os formados por un só resultado:

• {ocupado}, {parado}, {inactivo}
• {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

Sucesos compostos son os formados por máis dun resultado:

• A=activo={ocupado, parado}
• B=Saír par={2, 4, 6}

Suceso seguro é o que sempre se realiza:

• Persoa de 15 ou máis anos
• Saír número menor que 8

Suceso imposible é o que nunca se realiza:

• Non poderíamos obter unha persoa < de 16 anos
• Non poderíamos obter un número negativo

Suceso contrario de A é o que se realiza cando non se realiza A:

• O suceso contrario de A é A^c={inactivo}
• O suceso contrario de B=Saír impar= {1, 3, 5}

Operacións con sucesos

Consideremos o experimento aleatorio consistente en elixir unha persoa maior de 18 anos en Galicia e mirar o número de fillos que ten. O espazo mostral é E={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e máis}.

Consideremos os seguintes sucesos:

A={ter menos de 2 fillos}

B={ter 2 fillos}

Formemos o suceso "ter menos de 2 fillos ou ter 2 fillos"={0,1,2}. Este é o suceso unión de A e B.

Dados dous sucesos A e B, dun mesmo experimento aleatorio, chamamos suceso unión de A e B ao suceso que se realiza cando se realizan A ou B

Consideremos os sucesos seguintes do experimento aleatorio anterior:

A={ter menos de 2 fillos}={0,1}

B={ter menos de 3 fillos}={0,1,2}

Formemos o suceso "ter menos de 2 fillos e ter menos de 3 fillos"={0,1}. Este é o suceso intersección de A e B.

Dados dous sucesos A e B, dun mesmo experimento aleatorio, chamamos suceso intersección de A e B (A ∩ B) ao suceso que se realiza cando se realizan simultaneamente os dous sucesos A e B.

Se a intersección de dous sucesos é un suceso imposible dise que os sucesos son incompatibles. No caso contrario, chámanse compatibles.

Probabilidade de sucesos

Un exemplo: unha parella decide ter un neno. A nai quere que sexa nena. Como ter neno ou nena son sucesos igualmente probables, a probabilidade de ter nena é 1/2.

Outro exemplo: unha bolsa contén 5 bolas vermellas e 3 azuis. Se se extrae un bola oa azar, ¿cal sería a probabilidade de que fose vermella?. Como na bolsa hai 5 bolas vermellas, teremos 5 oportunidades entre 8 de obter unha bola vermella.

En 1812, o matemático francés Pierre Simon de Laplace deu a primeira definición de probabilidade, que di así:

"Se todos os resultados dun experimento son equiprobables (teñen todos a mesma probabilidade), tense que:

Probabilidade dun suceso= nº de casos favorables do suceso/nº de casos posibles"

No noso primeiro exemplo o número de casos favorables é 1 e o número de casos posibles é 2, polo tanto a probabilidade é 1/2. No segundo exemplo o número de casos favorables é 5 e o número de casos posibles é 8, polo tanto a probabilidade e 5/8.

Propiedades da probabilidade

Escala de probabilidade

Observa a seguinte ligazón: Poboación por grupos de idade

Se nun espacio xeográfico concreto, no ano 2020, xuntamos a todos os homes galegos, é imposible escoller ao azar unha muller. Hai 0 oportunidades entre 1.300.153. Entón, a probabilidade deste suceso é 0.

En cambio, nese espazo xeográfico é seguro escoller ao azar un home. Hai 1.309.809 oportunidades entre 1.300.153. Polo tanto, a probabilidade é 1, p(E)=1.300.153/1.300.153=1.

Calquera outra composición darianos que a probabilidade de escoller ao azar un home entre o total é un número comprendido entre 0 e 1.

¡A probabilidade dun suceso é un número comprendido entre 0 e 1!

A probabilidade do suceso imposible é 0.

A probabilidade do suceso seguro é 1.

Probabilidade do suceso contrario

Continuando co exemplo anterior, consideramos o suceso A="Elexir ao azar unha persoa < de 16 anos entre a poboación total".

A súa probabilidade é: p(A)= 339.176/2.701.819=0,13

O suseso contrario de A é A^c= "Elixir unha persoa de 16 ou máis".

A súa probabilidade é p(A^c)=(1.674.819+687.824)/2.701.819=0,87

Observa que todos os sucesos elementais se tiveron en conta en A ou A^c. A suma de todos os casos favorables é entón igual ao número de casos posibles. Polo tanto:

P(A)+p(A^c)=0,13+0,87=1 o que da lugar a que:

P(A^c)=1-p(A)

A suma das probabilidades de todos os sucesos elementais é 1.

Probabilidade da unión de sucesos incompatibles

Para o experimento "elixir unha persoa ao azar entre a poboación galega", consideremos os seguintes sucesos:

A={persoa < de 16 anos}, B={persoa de máis de 64 anos}, A U B={persoa <16 anos, persoa de máis de 64 anos}

Neste caso, a intersección dos sucesos A e B é Ø. Non hai ningunha persoa que teña ao mesmo tempo menos de 16 anos e máis de 64 anos. Polo tanto, os sucesos A e B son incompatibles.

Cando os sucesos son incompatibles a probabilidade da unión dos sucesos calcúlase como a suma da probabilidade de cada un deles por separado.

Se dous sucesos A e B son incompatibles, verifícase que:

P(A U B)=p(A)+p(B)

Se se calculan as probabilidades resulta que:

p(A)=339.176/2.701.819=0,13

p(B)=687.824/2.701.819=0,25

p(A U B)=(339.176+687.824)/2.701.819=0,38=p(A)+p(B)

Probabilidade da unión de sucesos compatibles

Para o experimento "elixir unha persoa ao azar entre a poboación galega", consideremos o seguintes sucesos:

A={persoa < de 16 anos}, B={varón}, A U B={persoa < de 16 anos, varón}

Neste caso, a intersección dos sucesos A e B, A ∩ B é igual a {varón < 16 anos}. Polo tanto, os sucesos A e B son compatibles.

Se dous sucesos A e B non son incompatibles a probabilidade da unión dos sucesos calcúlase como:

P(A U B)=p(A)+p(B)-p(A ∩ B)

p(A)=339.176/2.701.819=0,13

p(B)=1.300.153/2.701.819=0,48

p(A ∩ B)=174.707/2.701.819=0,06

p(A ∩ B)=P(A U B)=p(A)+p(B)-p(A ∩ B)=0,13+0,48-0,06=0,55

Probabilidade de sucesos en experimentos compostos

As dúas primeiras preguntas da Enquisa de condicións de vida realizada no IGE son o xénero e o estado civil.

Xénero: Home, Muller

Estado civil: Solteiro, Casado, Viúvo, Separado, Divorciado

Se unha persoa ao azar enche este cuestionario, ¿cantos resultados posibles obteriamos?. A continuación verás un diagrama de árbore asociado a este experimento:

É fácil observar que o número de resultados posibles é 10=2 (xénero) x 5 (Estado civil)

¿Cando un experimento é composto??

Un experimento é composto cando está formado por varios experimentos simples. Nos experimentos compostos cada resultado ven dado por un camiño do diagrama da árbore.

¡O número de resultados posibles dun experimento composto obtense multiplicando os resultados posibles dos experimentos que o compoñen!

¿Como obtemos a probabilidade dun suceso nun experimento composto?

A probabilidade dun suceso nun experimento composto pódese obter de dúas formas:

1. Aplicando a regra de Laplace: probabilidade dun suceso= nº de casos favorables do suceso/nº de casos posibles
2. Como produto das probabilidades dos sucesos dos experimentos simples

Exemplo 1: ¿Cal é a probabilidade de obter un Home solteiro?

1. Aplicando a regra de Laplace:

   Casos favorables: 1

   Casos posibles: 10

   P(Home e solteiro)= 1/10

2. Como produto das probabilidades dos sucesos dos experimentos simples:

   A probabilidade de que a persoa sexa home é 1/2

   A probabilidade de que a persoa sexa solteiro é 1/5

   A probabilidade de que sexa home e solteiro é 1/2 x 1/5=1/10

¡Nos experimentos compostos, a probabilidade dun resultado é igual ao producto das probabilidades das ramas do diagrama de árbore que forman o camiño que da lugar a ese resultado!

Exemplo 2:

Outras preguntas da Enquisa de condicións de vida realizada no IGE son o xénero e o lugar de nacemento:

Xénero: Home, Muller

Lugar de nacemento: En Galicia, Noutra Comunidade Autónoma, Noutro país

¿Cal é a probabilidade de que unha persoa que encha o cuestionario sexa Home e nacera noutro país?

Supón que tanto os dous posibles resultados do xénero como os tres posibles resultados do lugar de nacemento son equiprobables.

Probabilidade condicionada. Sucesos dependentes e independentes

No seguinte enlace poderás acceder ao nomenclator de Galicia onde tes acceso a poboación por xénero nos núcleos galegos: Núcleos de poboación

No ano 2019 no concello de Abegondo hai un núcleo de poboación de nome Beade que conta con 26 homes e 34 mulleres.

Imos elixir dúas persoas ao azar neste núcleo de poboación. Calcular a probabilidade de que as dúas sexan mulleres sabendo que se escolleron do seguinte xeito:

1. Devolvendo a primeira persoa que se elixiu
2. Sin devolvela

Representamos por A= "elixir a primeira persoa muller" e por B="elixir unha muller na segunda extracción"

1. No caso 1, o resultado da primeira extracción non inflúe ou condiciona o da segunda; dise que os sucesos son independentes

   Neste caso P(A e B)=P(A ∩ B)= 34/60 x 34/60

2. No caso 2, o resultado obtido na primeira extracción condiciona o resultado da segunda xa que, suposto que se obtén unha muller, como non se devolve, temos 33 mulleres e 59 persoas no núcleo de poboación para a segunda extracción. Dise entón que os sucesos son dependentes .

   Pódese escribir entón que P(A e B)= P(A ∩ B)= 34/60 x 33/59

En xeral, a P(A e B) calcúlase:

P(A e B)= p(A).p(B, suposto ocorrido A)

A probabilidade p(B, suposto ocorrido A) chámase probabilidade de B condicionada a A e represéntase por p(B/A).

De maneira xeral, defínese a probabilidade de A condicionada a B como a seguinte expresión:

p(A/B)=p(A ∩ B)/p(B)

Desta expresión obtéñense as seguintes expresións que se coñecen co nome de lei do produto:

p(A ∩ B)=p(B).p(A/B) e P(A ∩ B)=p(A).p(B/A)

Exemplo:

Calcula dentro do teu núcleo de poboación a probabilidade de elixir dous homes: devolvendo a primeira persoa que se elixiu e sen devolvela Núcleos de poboación

Probabilidade total e teorema de Bayes

Probabilidade total

Supoñamos que temos unha familia {B₁, B₂, ..., B_n} de sucesos incompatibles dous a dous e tales que p(B₁)+p(B₂), ...,p(B_n)=1 e un suceso A:

p(A)=p(A ∩ B₁)+p(A ∩ B₂)+...+p(A ∩ B_n)=p(B₁).p(A/B₁)+...+p(B_n).p(A/B_n)

Esta é a chamada lei da probabilidade total.

Teorema de Bayes

Sabemos que:

p(B_i/A)=p(B_i ∩ A)/p(A)

pero, dado que:

obtense:

Esta fórmula coñécese co nome de teorema de Bayes.